Problem 737 「コイン・ループ」

たくさんの同質なコインを使って水平なテーブル上で行われるゲームがある。

テーブルに垂直な直線を考えよう。 最初のコインはその直線に接するようにテーブルに置かれる。 そして,一枚ずつ,コインはそれより前に置かれたコインの上に水平に,かつ垂直線に接するように置かれる。 置かれるコインは全てバランスを保っていなければならない。

下の図は,点 P が垂直線の位置を表すとして,8 枚のコインが置かれた様子を示している。

p737_coinloop.jpg

コイン・ループを形成するためには最小限 31 枚のコインが必要である。すなわち,それぞれのコインをテーブルに射影したとして,n 番目のコインの中心が θn 回転しており,(n-1) 枚目のコインの中心は $Sigma_{k=2}^{n} \theta_{k}$ がはじめて 360 度を超えるのが n = 31 ということである。一般的に言えば,k 回ループする 360 k 度より大きくなるために必要な最小の n である。

同じように,垂直線の周りを 2 回ループさせるためには 154 個のコイン,10 回ループさせるためには 6947 個のコインが必要である。

垂直線の周りを2020回ループさせるためには何個のコインが必要か計算せよ。


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Last-modified: 2020-12-12 (土) 18:20:38