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*[[Problem 385:http://projecteuler.net/problem=385]] 「三角形内の楕円」 [#je54f473]

平面上のいかなる三角形 &tex{T}; においても, &tex{T}; の内部にぴったりと収まる, 最大の面積となる唯一の楕円の存在を示すことができる.

#ref(https://projecteuler.net/resources/images/0385_ellipsetriangle.png,center,nolink)

与えられた &tex{n}; に対し, 以下の条件を満たす三角形 &tex{T}; を考えよう :

- &tex{T}; の頂点が &tex{n}; の絶対値以下の整数座標を持ち,
- &tex{T}; の頂点は絶対値が&tex{n}; 以下の整数座標を持ち,
- &tex{T}; 内の最大面積となる楕円の''焦点''&tex{^{†1}};が (√13,0) と (-√13,0) になる.

このような三角形全ての面積の総和を A(&tex{n};) としよう.

例えば &tex{n}; = 8 のとき, そのような三角形が二つ存在する. それらの頂点は (-4,-3),(-4,3),(8,0)  そして (4,3),(4,-3),(-8,0) , 三角形の面積はどちらも 36 になる. したがって, A(8) = 36 + 36 = 72.

A(10) = 252, A(100) = 34632 そして A(1000) = 3529008 であることが確認できる.

A(1 000 000 000) を求めよ.

&tex{^{†1}}; 楕円の''焦点''とは, 楕円の境界上の点 P に対し &tex{AP}; + &tex{BP}; が一定の長さとなる二点 A と B のことである.

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