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無限級数 AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ... を考える. ここで、Fk はフィボナッチ数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... の第 k 項であり, Fk = Fk-1 + Fk-2, F1 = 1, F2 = 1 である.
この問題では, AF(x) が正の整数となるような x の値について考える.
驚くべきことに, AF(1/2) = (1/2)×1 + (1/2)2×1 + (1/2)3×2 + (1/2)4×3 + (1/2)5×5 + ... = 1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ... = 2 である.
最初の 5 つの自然数に対する x の値を下表に示す.
| x | AF(x) |
| √2−1 | 1 |
| 1/2 | 2 |
| (√13−2)/3 | 3 |
| (√89−5)/8 | 4 |
| (√34−3)/5 | 5 |
x が有理数のときの AF(x) の値を金塊と呼ぶ. そのような値はどんどん珍しくなっていくためである. 例えば, 10 番目の金塊は 74049690 である.
15 番目の金塊を求めよ.
