Problem 385 のバックアップ(No.1)

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  • 1 (2012-05-20 (日) 14:14:06)

Problem 385 「三角形内の楕円」 †

平面上のいかなる三角形 T においても, T の内部にぴったりと収まる, 最大の面積となる唯一の楕円の存在を示すことができる.

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与えられた n に対し, 以下の条件を満たす三角形 T を考えよう :

• T の頂点が n の絶対値以下の整数座標を持ち,
• T 内の最大面積となる楕円の焦点&sup{†1};が (√13,0) と (-√13,0) になる.

このような三角形全ての面積の総和を A(n) としよう.

例えば n = 8 のとき, そのような三角形が二つ存在する. それらの頂点は (-4,-3),(-4,3),(8,0) そして (4,3),(4,-3),(-8,0) , 三角形の面積はどちらも 36 になる. したがって, A(8) = 36 + 36 = 72.

A(10) = 252, A(100) = 34632 そして A(1000) = 3529008 であることが確認できる.

A(1 000 000 000) を求めよ.

&sup{†1}; 楕円の焦点とは, 楕円の境界上の点 P に対し AP + BP が一定の長さとなる二点 A と B のことである.