Problem 229 のバックアップ(No.1)

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  • 1 (2009-02-15 (日) 17:05:46)

Problem 229 「平方数による4通りの表し方」 †

3600 は特殊な数字である, というのは以下の特徴があるからである.

• 3600 = 48&sup{2}; +     36&sup{2};
• 3600 = 20&sup{2}; + 2×40&sup{2};
• 3600 = 30&sup{2}; + 3×30&sup{2};
• 3600 = 45&sup{2}; + 7×15&sup{2};

同様に, 82201 = 99&sup{2}; + 280&sup{2}; = 287&sup{2}; + 2×54&sup{2}; = 283&sup{2}; + 3×54&sup{2}; = 197&sup{2}; + 7×84&sup{2}; である.

1747年, オイラーはどのような数が平方数の和で表せるか証明した. 我々は以下のような4通りの式で表せる数nに着目する.

• n = a&sub{1};&sup{2}; +   b&sub{1};&sup{2};
• n = a&sub{2};&sup{2}; + 2b&sub{2};&sup{2};
• n = a&sub{3};&sup{2}; + 3b&sub{3};&sup{2};
• n = a&sub{7};&sup{2}; + 7b&sub{7};&sup{2};

a&sub{k};,b&sub{k};は正整数とする.

10&sup{7};以下ではこれを満たす整数は75373個ある.
2×10&sup{9};以下ではいくつあるか.