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n を二進展開したものに存在する1の隣接ペアの個数を表す数列 a(n) を定義しよう(隣接ペアは7の場合のように重複して存在する可能性がある).
例えば, a(5) = a(101&sub{2};) = 0, a(6) = a(110&sub{2};) = 1, a(7) = a(111&sub{2};) = 2 となる.
数列 b(n) を b(n) = (-1)&sup{a(n)}; と定義しよう.
この数列はルーディン-シャピロ数列(Rudin-Shapiro sequence)と呼ばれる.
b(n) を順次総和してできる数列(summatory sequence) s(n) を考えよう.: &ref(): File not found: "p_384_formula.gif" at page "Problem 384";
これらの数列の最初の値は以下のようになる.
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| a(n) | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 2 |
| b(n) | 1 | 1 | 1 | -1 | 1 | 1 | -1 | 1 |
| s(n) | 1 | 2 | 3 | 2 | 3 | 4 | 3 | 4 |
数列 s(n) はすべての要素が正の整数となり, さらにその整数 k はちょうど k 回現れるという注目すべき性質を持っている.
数列 s(n) に t が c 回目に現れたときの s(n) における添字を, 1 ≤ c ≤ t のとき g(t,c) と表すと定義しよう.
例えば, g(3,3) = 6, g(4,2) = 7 そして g(54321,12345) = 1220847710 となる.
F(n) を以下のように定義されるフィボナッチ数列としよう.
F(0)=F(1)=1, そして
n>1 のとき F(n)=F(n-1)+F(n-2).
GF(t)=g(F(t),F(t-1)) と定義しよう.
2 ≤ t ≤ 45 のときの ΣGF(t) を求めよ.
