Problem 137 のバックアップ(No.3)

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  • 1 (2008-03-15 (土) 10:05:16)
  • 2 (2021-10-26 (火) 10:38:43)
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  • 4 (2022-06-18 (土) 04:18:40)

Problem 137 「フィボナッチ金塊」 †

無限級数 AF(x) = xF1 + x2F2 + x3F3 + ... を考える. ここで、Fk はフィボナッチ数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... の第 k 項であり, Fk = Fk-1 + Fk-2, F1 = 1, F2 = 1 である.

この問題では, AF(x) が正の整数となるような x の値について考える.

驚くべきことに, AF(1/2) = (1/2)×1 + (1/2)2×1 + (1/2)3×2 + (1/2)4×3 + (1/2)5×5 + ... = 1/2 + 1/4 + 2/8 + 3/16 + 5/32 + ... = 2 である.

最初の 5 つの自然数に対する x の値を下表に示す.

x が有理数のときの AF(x) の値を金塊と呼ぶ. そのような値はどんどん珍しくなっていくためである. 例えば, 10 番目の金塊は 74049690 である.

15 番目の金塊を求めよ.