Problem 394 のバックアップ(No.1)

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  • 1 (2012-09-16 (日) 07:29:08)

Problem 394 「パイ食べ問題」 †

ジェフは一風変わった方法でパイを食べる.
パイは円形状である. 彼は半径にそってパイに最初の切り込みを入れる.
そして残りのパイが少なくとも与えられた割合 F 以上ある場合, 彼は以下の手順を行う.

• パイの中心から残りのパイの縁の任意の点まで切り込みを入れ, 再び同じ確率で, 残りのパイの縁の任意の点まで切り込みを入れる. これで残りのパイは3つに分けられる.
• 最初の切り込みから反時計回りで, 最初の2切れのパイを取って食べる.

パイの残りが割合 F 未満になった時, 彼はこの手順をやめる. かわりに残りのパイをすべて食べる.

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x ≥ 1 に対し, F = 1/x のときジェフが手順を繰り返す回数の期待値を E(x) としよう.
E(1) = 1, E(2) ≈ 1.2676536759, そして E(7.5) ≈ 2.1215732071 であることが確かめられている.
E(40) を求め, 小数点以下11桁の位で四捨五入して答えよ.