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#author("2022-11-03T03:27:55+00:00","","")
*[[Problem 229:http://projecteuler.net/problem=229]] 「平方数による4通りの表し方」 [#e8b70390]

3600 は特殊な数字である, というのは以下の特徴があるからである.
- 3600 = 48&sup{2}; +     36&sup{2};
- 3600 = 20&sup{2}; + 2×40&sup{2};
- 3600 = 30&sup{2}; + 3×30&sup{2};
- 3600 = 45&sup{2}; + 7×15&sup{2};
- 3600 = &tex{48^{2}}; +     &tex{36^{2}};
- 3600 = &tex{20^{2}}; + 2×&tex{40^{2}};
- 3600 = &tex{30^{2}}; + 3×&tex{30^{2}};
- 3600 = &tex{45^{2}}; + 7×&tex{15^{2}};

同様に, 82201 = 99&sup{2}; + 280&sup{2}; = 287&sup{2}; + 2×54&sup{2}; = 283&sup{2}; + 3×54&sup{2}; = 197&sup{2}; + 7×84&sup{2}; である.
同様に, 82201 = &tex{99^{2}}; + &tex{280^{2}}; = &tex{287^{2}}; + 2×&tex{54^{2}}; = &tex{283^{2}}; + 3×&tex{54^{2}}; = &tex{197^{2}}; + 7×&tex{84^{2}}; である.

1747年, オイラーはどのような数が平方数の和で表せるか証明した. 我々は以下のような4通りの式で表せる数nに着目する.
- n = a&sub{1};&sup{2}; +   b&sub{1};&sup{2};
- n = a&sub{2};&sup{2}; + 2b&sub{2};&sup{2};
- n = a&sub{3};&sup{2}; + 3b&sub{3};&sup{2};
- n = a&sub{7};&sup{2}; + 7b&sub{7};&sup{2};
- n = &tex{a_{1}^{2}}; +   &tex{b_{1}^{2}};
- n = &tex{a_{2}^{2}}; + 2&tex{b_{2}^{2}};
- n = &tex{a_{3}^{2}}; + 3&tex{b_{3}^{2}};
- n = &tex{a_{7}^{2}}; + 7&tex{b_{7}^{2}};

a&sub{k};,b&sub{k};は正整数とする.
&tex{a_{k}};,&tex{b_{k}};は正整数とする.

10&sup{7};以下ではこれを満たす整数は75373個ある. ~
2×10&sup{9};以下ではいくつあるか.
&tex{10^{7}};以下ではこれを満たす整数は75373個ある. ~
2×&tex{10^{9}};以下ではいくつあるか.

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