Problem 143 「三角形のトリチェリ点の調べ上げ」

ABCを全ての内角が120度未満の三角形とする. Xを三角形の内点とし, XA = p, XB = q, XC = rとする.

フェルマーは「p+q+rを最小にするXを探す方法はあるか?」とトリチェリに問題を出した.

正三角形 AOB, BNC, AMC がABCの各辺に構成できるならば, AOB, BNC, AMCに外接する3つの円が三角形の内部の1点 T で交わることをトリチェリは示した. さらに, トリチェリ-フェルマー点と呼ばれる T が, p + q + r を最小化することも示した. 更には, 和が最小となるときには, AN = BM = CO = p + q + r であり, AN, BM, COもまた T と交わることも示せる.

p_143_torricelli.gif

和が最小化されているとして, a, b, c, p, q, r が全て正の整数であるとき, 三角形 ABC をトリチェリ三角形と呼ぶ. 例えば, a = 399, b = 455, c = 511 は p + q + r = 784 のトリチェリ三角形である.

トリチェリ三角形について 異なる値をとる p + q + r ≤ 120000 の総和を求めよ.

注: この問題は最近変更された. 正しいパラメータを用いているかどうかチェックしてほしい.


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Last-modified: 2010-07-14 (水) 01:36:44 (2654d)