Problem 153 「ガウス整数の調べ上げ」

方程式 x2 = -1 が実数 x について解が存在しないことは誰もが知っている.
しかし, 虚数 i を導入することで方程式は2つの解 x = i , x = -i を持つ.
さらに, 方程式 (x - 3)2 = -4 は二つの複素数の解 x = 3+2i , x = 3-2i を持つ.
x = 3+2i と x = 3-2i は他方の共役複素数と呼ばれる.
a + bi という形の数は複素数と呼ばれる.
一般に, a + bi と a - bi は他方の共役複素数である.

ガウス整数とはaとbがともに整数である複素数 a + bi のことである.
普通の整数はまた, ガウス整数である. (b = 0 のケース)
b ≠ 0 のガウス整数と区別するために, 普通の整数を"有理整数"と呼ぶことにする.
有理整数 n をあるガウス整数で割った結果がガウス整数である場合, そのガウス整数は約数と呼ばれる.
例として, 5 を 1+2i で割ると, p_153_formule1.gifは以下のように簡略化できる.
分子と分母に1+2iの共役複素数(1-2i)を掛ける.
結果は, p_153_formule2.gifとなる.
よって, 1+2i は 5 の約数である.
1+i はp_153_formule5.gifなので 5 の約数でないことに注意.
さらに, ガウス整数(a+bi)が有理整数 n の約数ならば, その共役複素数(a-bi)もまた n の約数となることにも注意.

実際, 5 は実部が正となる約数を, {1, 1 + 2i, 1 - 2i, 2 + i, 2 - i, 5}の6個持つ.
以下に最初の5個の正の有理整数の約数の表を示す.

n実部が正のガウス整数の約数約数の和 s(n)
111
21, 1+i, 1-i, 25
31, 34
41, 1+i, 1-i, 2, 2+2i, 2-2i,413
51, 1+2i, 1-2i, 2+i, 2-i, 512

正の実部を持つ約数について, p_153_formule6.gifを得る.

1 ≤ n ≤ 105 について, ∑s(n) = 17924657155 となる.

1 ≤ n ≤ 108 について, ∑s(n) を求めよ.


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Last-modified: 2008-03-10 (月) 03:42:34 (3512d)