Problem 260 「石取りゲーム」

3 つの石の山と 2 人のプレイヤーでゲームを行う.
彼女のターンでは, プレイヤーは 1 個以上の石を山から取る. しかし, 2 つ以上の山から取る場合は, 選んだそれぞれの山から同じ数の石を取らないといけない.

つまり, プレイヤーは N>0 を選んで取る:

  • N 個の石を 1 つの山から取る, または
  • N 個の石を 2 つの山からそれぞれ取る(合計 2N 個), または
  • N 個の石を 3 つの山からそれぞれ取る(合計 3N 個)

最後の石を取ったプレイヤーが勝者である.

勝利状態 とは最初のプレイヤーが勝つ状態のことである.
例えば, (0,0,13), (0,11,11), (5,5,5) は, 最初のプレイヤーが全ての石を一度に取れるから勝利状態である.

敗北状態 とは最初のプレイヤーがどんなことをしても 2 人目のプレイヤーが勝つ状態のことである.
例えば, (0,1,2) と (1,3,3) は敗北状態である: ルール上のどんな手を取っても 2 人目のプレイヤーの勝利状態となる.

xi ≤ yi ≤ zi ≤ 100 を満たす全ての敗北状態 (xi,yi,zi) について考える.
この場合 Σ(xi+yi+zi) = 173895 であることがわかる.

xi ≤ yi ≤ zi ≤ 1000 を満たす全ての敗北状態を表す (xi,yi,zi) について Σ(xi+yi+zi) を求めよ.


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Last-modified: 2009-10-16 (金) 22:15:52 (2808d)