Problem 274 「整除乗数」

10 と互いに素な整数 p > 1 に対し, 次のような性質がある正の整除乗数(divisibility multiplier) m < p が存在する: 任意の正の整数 n に対し次の関数と p で割り切れるかどうかが同じである:

f(n) = (n の最後の桁以外) + (n の最後の桁) * m

つまり, もし m が p の整除乗数であるなら, f(n) が p で割り切れる必要十分条件は n が p で割り切れることである.

(n が p より十分大きければ, f(n) は n より小さくなり, f を繰り返し適用することで p の整除乗数のテストに使用できる)

例えば, 113 の整除乗数は 34 である.

f(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797 : 76275 と 7797 は共に 113 で割り切れる.
f(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404 : 12345 と 1404 は共に 113 で割り切れない.

1000 未満で 10 と互いに素な素数の整除乗数の合計は 39517 である. 107 未満で10 と互いに素な素数の整除乗数の合計は?


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Last-modified: 2010-01-19 (火) 01:41:56 (2622d)