Problem 295 「レンズホール」

次の条件を満たす時, 2つの円に囲まれた凸状の領域をレンズホール(lenticular hole)と呼ぶ:

  • 円の中心が両方とも格子点上にある.
  • 2つの円は異なる2つの格子点上で交差する.
  • 両方の円で囲まれた凸状の領域の内部は格子点を含まない.

次の円について考える:
C0: x2+y2=25
C1: (x+4)2+(y-4)2=1
C2: (x-12)2+(y-4)2=65

円 C0, C1, C2 は以下の図で示す.

p295_lenticular.gif

C0 と C1 はレンズホールを形成する. C0 と C2 も同様である.

正の実数のペア (r1, r2) が次の条件を満たす時, これをレンズペア(lenticular pair)と呼ぶ: レンズホールを形成するような半径 r1 と半径 r2 の2つの円が存在する. (1, 5) と (5, √65) は共にレンズペアであることが上の例から確かめられる.

L(N) を 0 < r1 ≤ r2 ≤ N を満たす異なるレンズペア (r1, r2) の数とする. L(10) = 30, L(100) = 3442 であることが確かめられる.

L(100 000)を求めよ.

注意: 最近上限を変更した. 正しい上限を使用しているか確認せよ.


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Last-modified: 2010-06-23 (水) 04:14:39 (2529d)