Problem 299 「3つの相似三角形」

整数の座標をもつ4点が選ばれる:
A(a, 0), B(b, 0), C(0, c), D(0, d) (0 < a < b かつ 0 < c < d) である.
線 AC 上に, 整数の座標をもつ点 P を, 3つの三角形 ABP, CDP, BDP が全て相似となるように選ぶ.

p_299_ThreeSimTri.gif

a=c のときにのみ3つの三角形が相似となり得ることは, 容易に証明できる.

そこで, a=c とし, 3つの三角形 ABP, CDP, BDP が全て相似となる点 P (整数の座標をもつ) が少なくとも1つ存在するような3数の組 (a,b,d) を探すことにする.

例えば, (a,b,d)=(2,3,4) ならば, 点 P(1,1) が上の条件を満たすことが容易に確かめられる. 3数の組 (2,3,4) と (2,4,3) は, 点 P(1,1) は両者で共通ではあるが, 異なるものとしてみなすことに注意.

b+d < 100 の場合, 点 P が存在する異なる3数の組 (a,b,d) は 92 個ある.
b+d < 100,000 の場合, 点 P が存在する異なる3数の組 (a,b,d) は 320471 個ある.
b+d < 100,000,000 の場合, 点 P が存在する異なる3数の組 (a,b,d) は何個あるか.


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Last-modified: 2010-07-03 (土) 13:18:17 (2491d)