Problem 321 「カウンタの交換」

2n+1 個の正方形からなる水平方向の列に, 中央の空白の正方形をへだてて, 片側に n 個の赤のカウンタがあり, もう一方の側に n 個の青のカウンタがある. 例えば, n=3 では次のとおりである.

p_321_swapping_counters_1.gif

カウンタは, ある正方形から隣に移動させる(スライド)か, 隣のカウンタのさらにその隣が空いていれば, そのカウンタを飛び越える(ジャンプ)ことができる.

p_321_swapping_counters_2.gif

カウンタの色の位置を完全に逆にするのに必要なスライド/ジャンプの最小の回数を M(n) で表すとする. つまり, 赤のカウンタを全て右に移し, 青のカウンタを全て左に移す.

M(3)=15 であることが確かめられる. この数は三角数でもある.

M(n) が三角数となる n で数列を作ると, 最初の五つの項は次のとおりになる:
1, 3, 10, 22, 63. これらの和は 99 である.

この数列の最初の 40 個の項の和を求めよ.


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Last-modified: 2013-10-26 (土) 20:22:46 (1337d)