Problem 359 「ヒルベルトの新しいホテル」

ヒルベルトの最新の無限ホテルに, 無限数の客(1,2,3,...と番号付けされている)が客室を取ろうと列をなしている.
そのホテルは無限数のフロア(1,2,3,...と番号付けされている)を有し, またそれぞれのフロアは無限の客室(1,2,3,...と番号付けされている)を持つ.

当初, ホテルはすべて空室である. ヒルベルトは客 n への客室の割り当て方を次のように発表する :

n 番目の客は, 以下の条件のどちらかをみたす一番最小の数のフロアについて, 最初の(訳注:その時点で最小の数となる)空いている客室を取る.

  • そのフロアが空いているとき
  • そのフロアが空きでなく, 直前にそのフロアの客室を取った客が m で, m + n が完全平方数のとき

客 1 は, フロア 1 が空きなので, フロア 1 の客室 1 を取る.
客 2 は, 1 + 2 = 3 が完全平方数でないので, フロア 1 の客室 2 は取れない.
代わりに客 2 は, フロア2が空きなので, フロア 2 の客室 1 を取る.
客 3 は, 1 + 3 = 4 が完全平方数なので, フロア 1 の客室 2 を取る.

最終的には, 列にいたすべての客がホテルの客室を取ることができる.

n がフロア f の客室 r に泊まっている場合は n, 誰もその客室に泊まっていないときは 0 を返す関数 P(f,r) を定義しよう. 以下に例を示す :
P(1, 1) = 1
P(1, 2) = 3
P(2, 1) = 2
P(10, 20) = 440
P(25, 75) = 4863
P(99, 100) = 19454

f × r = 71328803586048 となるようなすべての正の fr に対し, すべての P(f, r) の合計を求め, その最後の8桁を答えよ.


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Last-modified: 2011-11-20 (日) 09:28:08 (1953d)