Problem 384 「ルーディン-シャピロ数列」

n を二進展開したものに存在する1の隣接ペアの個数を表す数列 a(n) を定義しよう(隣接ペアは7の場合のように重複して存在する可能性がある).
例えば, a(5) = a(1012) = 0, a(6) = a(1102) = 1, a(7) = a(1112) = 2 となる.

数列 b(n) を b(n) = (-1)a(n) と定義しよう.
この数列はルーディン-シャピロ数列(Rudin-Shapiro sequence)と呼ばれる.

b(n) を順次総和してできる数列(summatory sequence) s(n) を考えよう.: p_384_formula.gif

これらの数列の最初の値は以下のようになる.

n01234567
a(n)00010012
b(n)111-111-11
s(n)12323434

数列 s(n) はすべての要素が正の整数となり, さらにその整数 k はちょうど k 回現れるという注目すべき性質を持っている.

数列 s(n) に t が c 回目に現れたときの s(n) における添字を, 1 ≤ c ≤ t のとき g(t,c) と表すと定義しよう.
例えば, g(3,3) = 6, g(4,2) = 7 そして g(54321,12345) = 1220847710 となる.

F(n) を以下のように定義されるフィボナッチ数列としよう.
F(0)=F(1)=1, そして
n>1 のとき F(n)=F(n-1)+F(n-2).

GF(t)=g(F(t),F(t-1)) と定義しよう.

2 ≤ t ≤ 45 のときの ΣGF(t) を求めよ.


添付ファイル: filep_384_formula.gif 258件 [詳細]

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Last-modified: 2012-05-13 (日) 13:24:09 (1782d)