Problem 395

Problem 395 「ピタゴラスの木」 †

ピタゴラスの木とは以下の方法で作られるフラクタル図形である :

単位正方形から始める. そしてそのひとつの辺を根元と呼ぶことにする ( アニメーションでは底辺が根元になっている. )

1. 根元の反対側の辺に直角三角形をその斜辺がちょうど重なり合うようにして加え, 三角形の辺は 3:4:5 の比率になるようにする. 三角形の一番小さい辺は根元に対して右側に来るようにする点に注意. (アニメーションを参考に)
2. 直角三角形の斜辺以外のそれぞれの辺に, ちょうど重なり合うように正方形を加える.
3. 三角形が接する辺をそれらの根元と考えて, この手順を両方の正方形に対し繰り返す.

これを無限に繰り返して得られる結果の図形がピタゴラスの木である.

ピタゴラスの木を完全に囲い込むことができる, 一番大きい正方形と辺が平行となる長方形が少なくともひとつは存在することを示すことができる.

そのような外接矩形となる最小の長方形の面積を求め, 小数点以下11桁の位で四捨五入して答えよ.