Problem 437 「フィボナッチ原始根」

n=0 から 9 までの 8n modulo 11 を計算すると以下のようになる: 1, 8, 9, 6, 4, 10, 3, 2, 5, 7.
このように1から10までのすべての取りうる値が現れる. したがって 8 は 11 の原始根である.
しかし話はここからだ:
よく調べてみると以下のことがわかる:
1+8=9
8+9=17≡6 mod 11
9+6=15≡4 mod 11
6+4=10
4+10=14≡3 mod 11
10+3=13≡2 mod 11
3+2=5
2+5=7
5+7=12≡1 mod 11.

したがって 11 を法として 8 のべき乗を割った剰余は周期 10 で循環し, そして 8n + 8n+1 ≡ 8n+2 (mod 11).
8 を 11 のフィボナッチ原始根と呼ぶ.
すべての素数がフィボナッチ原始根を持つわけではない.
1つ以上のフィボナッチ原始根を持つ 10000 未満の素数は 323 個あり, その和は 1480491 となる.
100,000,000 未満で少なくとも1つのフィボナッチ原始根を持つ素数の和を求めよ.


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Last-modified: 2013-09-22 (日) 17:56:30 (1426d)