Problem 447

Problem 447 「レトラクション C」 †

n > 1 のすべての整数において, 関数族 f&sub{n,a,b}; を, 整数 a,b,x, そして 0 < a < n, 0 ≤ b < n, 0 ≤ x < n に対して f&sub{n,a,b};(x) ≡ ax+b mod n と定義する.
0 ≤ x < n のすべてにおいて f&sub{n,a,b};(f&sub{n,a,b};(x)) ≡ f&sub{n,a,b};(x) mod n のとき, その f&sub{n,a,b}; をレトラクション (retraction) と呼ぼう.
n におけるレトラクションの個数を R(n) としよう.

2 ≤ n ≤ N において F(N) = ∑R(n) としよう.
F(10&sup{7};) ≡ 638042271 (mod 1 000 000 007) となる.

F(10&sup{14};) (mod 1 000 000 007) を求めよ.

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