Problem 460

Problem 460 「移動する蟻」 †

ユークリッド平面上において, 点 A(0, 1) から, ある整数を d として, 点 B(d, 1) まで蟻が旅をする.

各段階で, (x0, y0) にいる蟻は x1 ≥ 0, そして y1 ≥ 1 を満たす格子点 (x1, y1) の一つを選択し, その (x1, y1) まで一定速度 v でまっすぐに進む. v の値は以下のように y0 と y1 によって決まる :

• もし y0 = y1 なら, v の値は y0 に等しい.
• もし y0 ≠ y1 なら, v の値は (y1 - y0) / (ln(y1) - ln(y0)) に等しい.

左の図は d = 4 のときに起こりうる道のりのひとつである. 最初に蟻は A(0, 1) から P1(1, 3) まで速度 (3 - 1) / (ln(3) - ln(1)) ≈ 1.8205 で向かう. その結果所要時間は sqrt(5) / 1.8205 ≈ 1.2283 となる.
点 P1(1, 3) から点 P2(3, 3) まで蟻は速度 3 で移動し, 所要時間は 2 / 3 ≈ 0.6667 となる. 点 P2(3, 3) から点 B(4, 1) まで蟻は速度 (1 - 3) / (ln(1) - ln(3)) ≈ 1.8205 で移動し, 所要時間は sqrt(5) / 1.8205 ≈ 1.2283 となる.
したがって総所要時間は 1.2283 + 0.6667 + 1.2283 = 3.123 となる.

右の図は別の道のりの場合である. 総所要時間は 0.98026 + 1 + 0.98026 = 2.96052 と計算される. これは d = 4 の場合における最速のコースであることがわかる.

蟻が最速のコースを選んだ時の総所要時間を F(d) としよう. 例として, F(4) ≈ 2.960516287.
F(10) ≈ 4.668187834, そして F(100) ≈ 9.217221972 となることが確認できる.

F(10000) を求めよ. 回答は小数点以下9桁となるよう四捨五入して答えよ.