Problem 488

Problem 488 「不安定な Nim」 †

アリスとボブは毎日 Nim をプレイして楽しく過ごしている. しかし, 彼らはついに通常の3つの山を使う Nim に飽きてしまった.
そこで, 彼らは特別ルールを追加した:

• 同じサイズの2つの山を作ってはならない.

3つの山の大きさを3つ組み (a, b, c) で表示する.
この特別ルールのもとでは, (2, 4, 5) は後手必勝となる山の配置の1つである.

以下に示すように:

• アリスが (2,4,3) にする
• ボブが (0,4,3) にする
• アリスが (0,2,3) にする
• ボブが (0,2,1) にする

通常の3つの山を使う Nim と違い, (0, 1, 2), そしてこれを並べ替えた配列がこのゲームの最終状態となる.

整数 N に対し, 0 < a < b < c < N において, すべての後手必勝の山の配置による a + b + c の和を F(N) としよう.

例えば, F(8) = 42, なぜなら4つの後手必勝の配置がある, (1,3,5), (1,4,6), (2,3,6), (2,4,5).
また F(128) = 496062 であることがわかる.

S(1018) の末尾9桁を求めよ.