Problem 88 「積和数」

少なくとも2つの自然数 {a1, a2, ... , ak} の集合の和かつ積として表せる自然数Nを積和数と呼ぶ:N = a1 + a2 + ... + ak = a1 × a2 × ... × ak.

例えば, 6 = 1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3.

ある集合の大きさ k に対して,この性質を持つ最小の N を最小積和数と呼ぼう. 集合の大きさ k = 2, 3, 4, 5, 6 に対する最小積和数は次のとおりである.

k=2: 4 = 2 × 2 = 2 + 2
k=3: 6 = 1 × 2 × 3 = 1 + 2 + 3
k=4: 8 = 1 × 1 × 2 × 4 = 1 + 1 + 2 + 4
k=5: 8 = 1 × 1 × 2 × 2 × 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + 2
k=6: 12 = 1 × 1 × 1 × 1 × 2 × 6 = 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 6

したがって 2 ≤ k ≤ 6 に対して,全ての最小積和数の和は 4+6+8+12 = 30 である. 8 は和に一度だけカウントされていることに気をつけよう.

実際, 2 ≤ k ≤ 12 に対する最小積和数の完全な集合は {4, 6, 8, 12, 15, 16} なので,その和は 61 である.

2 ≤ k ≤ 12000 に対する全ての最小積和数の和は何か?


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Last-modified: 2009-03-29 (日) 14:45:36 (2917d)