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*[[Problem 558:https://projecteuler.net/problem=558]] 「無理数の基底」 [#z4af44e6]

&tex{x^{3}=x^{2}+1}; の実数解を r とする。~
すべての正の整数は、rの異なるべき乗の和として書くことができる。~
項の数を有限、2つの指数の差が3以上とすると、一意に表現される。~
たとえば、 &tex{3=r^{−10}+r^{−5}+r^{−1}+r^{2}}; &tex{10=r^{−10}+r^{−7}+r^{6}}; である。~
たとえば、 &tex{3=1/r^{10}+1/r^{5}+1/r^{1}+r^{2}}; &tex{10=1/r^{10}+1/r^{7}+r^{6}}; である。~
興味深いことに、この関係は&tex{x^{3}=x^{2}+1}; の複素数解にも成り立つ。~

n の一意表現の項数を &tex{w(n)}; とする。したがって &tex{w(3)=4};、&tex{w(10)=3}; である。~

より、形式的には、すべての正の整数 n について、いくつかの条件のもとで一意に表せる。~
CENTER:
n=∑&tex{b_{k}r^{k}};

（ただし∑は、&tex{k};=−∞ から∞までの和をとる）

すべてのkについて &tex{b_{k}};は0か1であり、~
&tex{b_{k}+b_{k+1}+b_{k+2}};≦1。~
&tex{w(n)};=∑&tex{b_{k}}; は有限である。

いま、&tex{S(m)};=∑&tex{w(j^{2})}; とする。(ただしΣはj=1からmまで、w(j^2)の和をとる)~
S(10)=61とS(1000)=19403である。

S(5000000)を求めよ。

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