Problem 558
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*[[Problem 558:https://projecteuler.net/problem=558]] 「無理数の基底」 [#z4af44e6] &tex{x^{3}=x^{2}+1}; の実数解を r とする。~ すべての正の整数は、rの異なるべき乗の和として書くことができる。~ 項の数を有限、2つの指数の差が3以上とすると、一意に表現される。~ たとえば、 &tex{3=1/r^{10}+1/r^{5}+1/r^{1}+r^{2}}; &tex{10=1/r^{10}+1/r^{7}+r^{6}}; である。~ 興味深いことに、この関係は&tex{x^{3}=x^{2}+1}; の複素数解にも成り立つ。~ n の一意表現の項数を &tex{w(n)}; とする。したがって &tex{w(3)=4};、&tex{w(10)=3}; である。~ より、形式的には、すべての正の整数 n について、いくつかの条件のもとで一意に表せる。~ CENTER: n=∑&tex{b_{k}r^{k}}; （ただし∑は、&tex{k};=−∞ から∞までの和をとる） すべてのkについて &tex{b_{k}};は0か1であり、~ &tex{b_{k}+b_{k+1}+b_{k+2}};≦1。~ &tex{w(n)};=∑&tex{b_{k}}; は有限である。 いま、&tex{S(m)};=∑&tex{w(j^{2})}; とする。(ただしΣはj=1からmまで、w(j^2)の和をとる)~ S(10)=61とS(1000)=19403である。 S(5000000)を求めよ。
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*[[Problem 558:https://projecteuler.net/problem=558]] 「無理数の基底」 [#z4af44e6] &tex{x^{3}=x^{2}+1}; の実数解を r とする。~ すべての正の整数は、rの異なるべき乗の和として書くことができる。~ 項の数を有限、2つの指数の差が3以上とすると、一意に表現される。~ たとえば、 &tex{3=1/r^{10}+1/r^{5}+1/r^{1}+r^{2}}; &tex{10=1/r^{10}+1/r^{7}+r^{6}}; である。~ 興味深いことに、この関係は&tex{x^{3}=x^{2}+1}; の複素数解にも成り立つ。~ n の一意表現の項数を &tex{w(n)}; とする。したがって &tex{w(3)=4};、&tex{w(10)=3}; である。~ より、形式的には、すべての正の整数 n について、いくつかの条件のもとで一意に表せる。~ CENTER: n=∑&tex{b_{k}r^{k}}; （ただし∑は、&tex{k};=−∞ から∞までの和をとる） すべてのkについて &tex{b_{k}};は0か1であり、~ &tex{b_{k}+b_{k+1}+b_{k+2}};≦1。~ &tex{w(n)};=∑&tex{b_{k}}; は有限である。 いま、&tex{S(m)};=∑&tex{w(j^{2})}; とする。(ただしΣはj=1からmまで、w(j^2)の和をとる)~ S(10)=61とS(1000)=19403である。 S(5000000)を求めよ。
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