Problem 269

Problem 269 「少なくとも1つの整数の根を持つ多項式 」 †

多項式 P(x) の根または零点(A root or zero)とは等式 P(x)=0 の解のことである.
P&sub{n}; を n の各桁が係数となるような多項式と定義する.
例えば, P&sub{5703};(x)=5x&sup{3}; + 7x&sup{2}; + 3 である.

以下のことがわかる:

• P&sub{n};(0) は n の最後の桁であり,
• P&sub{n};(1) は n の各桁の合計であり,
• P&sub{n};(10) は n そのものである.

Z(k) を, 多項式 P&sub{n}; が少なくとも1つの整数の根を持つような, k を超えない正の整数 n の数とする.

Z(100 000) は 14696 であることが確かめられる.

Z(10&sup{16};) は?

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