Problem 269

Problem 269 「少なくとも1つの整数の根を持つ多項式 」 †

多項式 P(x) の根(root)または零点(zero)とは等式 P(x)=0 の解のことである.
Pn を n の各桁が係数となるような多項式と定義する.
例えば, P5703(x)=5x3+7x+3である.

以下のことがわかる:

• Pn(0) は n の最後の桁であり,
• Pn(1) は n の各桁の合計であり,
• Pn(10) は n そのものである.

Z(k) を, 多項式 Pn が少なくとも1つの整数の根を持つような, k を超えない正の整数 n の個数とする.

Z(100 000) は 14696 であることが確かめられる.

Z(1016) を求めよ．

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