Problem 64 「奇数周期の平方根」

平方根は連分数の形で表したときに周期的であり, 以下の形で書ける:

N = a0 + 1 / (a1 + 1 / (a2 + 1 / (a3 + ...)))

例えば, √23を考えよう.

√23 = 4 + √23 - 4 = 4 + 1 / (1 / (√23 - 4)) = 4 + 1 / (1 + (√23 - 3) / 7)

となる.

この操作を続けていくと,

√23 = 4 + 1 / (1 + 1 / (3 + 1 / (1 + 1 / (8 + ...))))

を得る.

操作を纏めると以下になる:

  • a0 = 4, 1/(√23-4) = (√23+4)/7 = 1 + (√23-3)/7
  • a1 = 1, 7/(√23-3) = 7(√23+3)/14 = 3 + (√23-3)/2
  • a2 = 3, 2/(√23-3) = 2(√23+3)/14 = 1 + (√23-4)/7
  • a3 = 1, 7/(√23-4) = 7(√23+4)/7 = 8 + (√23-4)
  • a4 = 8, 1/(√23-4) = (√23+4)/7 = 1 + (√23-3)/7
  • a5 = 1, 7/(√23-3) = 7(√23+3)/14 = 3 + (√23-3)/2
  • a6 = 3, 2/(√23-3) = 2(√23+3)/14 = 1 + (√23-4)/7
  • a7 = 1, 7/(√23-4) = 7(√23+4)/7 = 8 + (√23-4)

よって, この操作は繰り返しになることが分かる. 表記を簡潔にするために, √23 = [4;(1,3,1,8)]と表す. (1,3,1,8)のブロックは無限に繰り返される項を表している.

最初の10個の無理数である平方根を連分数で表すと以下になる.

  • √2=[1;(2)], period=1
  • √3=[1;(1,2)], period=2
  • √5=[2;(4)], period=1
  • √6=[2;(2,4)], period=2
  • √7=[2;(1,1,1,4)], period=4
  • √8=[2;(1,4)], period=2
  • √10=[3;(6)], period=1
  • √11=[3;(3,6)], period=2
  • √12= [3;(2,6)], period=2
  • √13=[3;(1,1,1,1,6)], period=5

N ≤ 13で奇数の周期をもつ平方根は丁度4つある.

N ≤ 10000 について奇数の周期をもつ平方根が何個あるか答えよ.


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Last-modified: 2008-05-02 (金) 20:50:29 (3280d)