Problem 428

Problem 428 「円のネックレス」 †

a, b, c を正の整数とする.
|WX| = a, |XY| = b, |YZ| = c, |WZ| = a + b + c となる同一直線上の四点 W, X, Y, Z があるとしよう.
XY を直径とする円を C&sub{in}; とする.
WZ を直径とする円を C&sub{out}; とする.

k ≥ 3 のときに k 個の円 C&sub{1};, C&sub{2};, ..., C&sub{k}; を以下のように配置できるとき, 三つ組 (a, b, c) をネックレス三つ組と呼ぶ.

• C&sub{i}; は 1 ≤ i, j ≤ k かつ i ≠ j において, いかなる C&sub{j}; とも共有する内点を持たない.
• C&sub{i}; は 1 ≤ i ≤ k において, C&sub{in};, C&sub{out}; と共に接している.
• C&sub{i}; は 1 ≤ i < k において, C&sub{i+1}; に接している.
• C&sub{k}; は C&sub{1}; に接している.

例えば, (5, 5, 5) と (4, 3, 21) はネックレス三つ組であり, (2, 2, 5) はそうではないことも示される.

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a, b, c が正の整数でかつ b ≤ n のときのネックレス三つ組の個数を T(n) としよう. 例えば, T(1) = 9, T(20) = 732, T(3000) = 438106.

T(1 000 000 000) を求めよ.

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