Problem 103 「特殊和集合:最適化」

大きさ n の集合 A の要素の和を S(A) で表す. 空でなく共通要素を持たないいかなる 2 つの部分集合 B と C に対しても以下の性質が真であれば, A を特殊和集合と呼ぼう.

i. S(B) ≠ S(C); つまり, 部分集合の和が等しくてはならない.
ii. B が C より多くの要素を含んでいればこのとき S(B) > S(C) となる.

ある n に対し S(A) が最小化されていれば, それを最適特殊和集合と呼ぼう. はじめの 5 つの最適特殊和集合は下に与えられる.

n = 1: {1}
n = 2: {1, 2}
n = 3: {2, 3, 4}
n = 4: {3, 5, 6, 7}
n = 5: {6, 9, 11, 12, 13}

ある最適集合 A = {a1, a2, ... , an} に対し, 次の最適集合は B = {b, a1+b, a2+b, ... ,an+b} となりそうである. ここで b は前列の「中央の」要素である.

この「法則」を用いると n = 6 に対する最適集合は A = {11, 17, 20, 22, 23, 24} で, S(A) = 117 と予期するだろう. しかしこれは, 最適に近い集合を与えるアルゴリズムを用いたにすぎないため, 最適集合とはならない. n = 6 に対する最適集合は A = {11, 18, 19, 20, 22, 25} で, S(A) = 115 である. これに対応する集合の文字列は 111819202225 である.

A を n = 7 に対する最適特殊集合とするとき, その集合の文字列を求めよ.

注意: この問題は Problem 105106 に関連している.


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Last-modified: 2009-04-10 (金) 20:14:36 (3051d)