Problem 559

Problem 559 「並び替え行列」 †

行列の全ての行で j 列目の要素が j+1 列目の要素より小さいとき、 j 列目は上昇しているという。

次の条件を満たす r×n 行列の個数を P(k,r,n) とする。

• どの行も {1,2,3,...,n} の並び替えである
• 最初の列を 1 列目として、列 j < n は j が k の倍数でないときかつそのときに限り上昇している

例えば P(1,2,3)=19, P(2,4,6)=65508751, P(7,5,30) mod 1000000123 = 161858102 である。

Q(n)=∑nk=1 P(k,n,n) とする。

例えば Q(5)=21879393751, Q(50) mod 1000000123 = 819573537 である。

Q(50000) mod 1000000123 を求めよ。

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