Problem 318 「2011個の9」

実数√2+√3について考える.
√2+√3の偶数乗を計算すると以下が得られる.
(√2+√3)2 = 9.898979485566356...
(√2+√3)4 = 97.98979485566356...
(√2+√3)6 = 969.998969071069263...
(√2+√3)8 = 9601.99989585502907...
(√2+√3)10 = 95049.999989479221...
(√2+√3)12 = 940897.9999989371855...
(√2+√3)14 = 9313929.99999989263...
(√2+√3)16 = 92198401.99999998915...

これらの小数部分の先頭から連続している9の数は非減少であるように見える.
実際に(√2+√3)2nの小数部分はnを大きくすると1に近づいていくことが証明できる.

p,qを正の整数でp<qとしたときに, (√p+√q)2nの小数部分が1に近づいていくような全ての実数√p+√qについて考える.

C(p,q,n)を(√p+√q)2nの小数部分の先頭から連続する9の数とする.

N(p,q)をC(p,q,n)≧2011となる最小のnとする.

p+q≦2011についてΣN(p,q)を求めよ.


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Last-modified: 2011-01-02 (日) 16:22:38 (2335d)